Town Selection, Past

1. Banyaknya solusi real $x$ dari persamaan
   $$3^{\left[ 1/2+\log _{3}\left( \cos x-\sin x\right) \right] }+2^{\log_{2}\left( \cos x+\sin x\right) }=\sqrt{2}$$
   adalah ...
   
   
2. Ada berapa banyak segitiga siku-siku yang kelilingnya $2009$ dan sisi-sisinya bilangan bulat serta jari-jari lingkaran dalamnya juga bilangan bulat?
   
   
3. Cari semua solusi bulat $a,b$ dari persamaan
   $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2010}.$$
   
   
4. Tentukan nilai $x,y,z$ real yang memenuhi
   $$\begin{eqnarray*}
   \dfrac{xy}{x+y} &=&\dfrac{1}{2} \\
   \dfrac{yz}{y+z} &=&\dfrac{1}{3} \\
   \dfrac{zx}{z+x} &=&\dfrac{1}{7}.
   \end{eqnarray*}$$
   
   
5. Diketahui segitiga $ABC$ dengan sisi $a,b$, dan $c$. Jika $\angle BAC=\frac{\pi}{3}$ dan $a=1$, buktikan bahwa $b+c\leq 2.$
   
   
6. Diberikan bilangan real $x,y$ yang memenuhi
   $$x^{2}+5y^{2}+1=2y\left( x+1\right) .$$
   Tentukan nilai $|x-y| .$
   
   
7. Tentukan jumlah
   $$\frac{1}{2009^{-2009}+1}+\frac{1}{2009^{-2008}+1}+\cdots +\frac{1}{2009^{2008}+1}+\frac{1}{2009^{2009}+1}.$$
   
   
8. Bapak dan Ibu $T$ mengadakan pertemuan di rumah mereka dan mengundang empat pasang suami-istri lainnya. Dalam pertemuan itu sejumlah, tetapi tidak semua, orang berjabat tangan. Tidak ada dua orang yang berjabatan lebih dari satu kali, dan setiap orang tidak berjabatan tangan dengan suami/ istrinya sendiri. Tuan dan nyonya rumah berjabatan dengan beberapa orang. Pada akhir acara Bapak $T$ menanyai kesembilan orang yang hadir (tidak termasuk dirinya sendiri) banyaknya jabat tangan yang dilakukan mereka. Ternyata kesembilan orang ini memberi jawaban yang berbeda. Tentukan banyaknya jabat tangan yang dilakukan oleh Ibu $T.$
   
   
9. Diketahui $x,y,z,t$ adalah bilangan real yang tidak sama dengan nol
   dan memenuhi
   $$\begin{eqnarray*}
   x+y+z &=&t \\
   \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} &=&\frac{1}{t} \\
   x^{3}+y^{3}+z^{3} &=&1000^{3}
   \end{eqnarray*}$$
   Tentukan nilai $x+y+z+t$.
   
   
10. Jika diketahui $\dfrac{9x+2y}{9z+2t}=\dfrac{2x+9y}{2z+9t}$ dan $\dfrac{%
    12x+y}{12z+t}=2010,$ hitunglah $\dfrac{24x+13y}{24x+13t}.$